Untuk melakukan pembinaan terhadap siswa yang berbakat matematika perlu adanya metode pembinaan. berikut ini diberikan metode pembinaannya. silahkan didownload.
Metode Pembinaan Olimpiade Matematika.pdf
BLOG OLIMPIADE MATEMATIKA
Minggu, 11 Agustus 2013
Rabu, 07 Agustus 2013
Persamaan Diophantine 3 Variabel
PERSAMAAN DIOPHANTINE 3 VARIABEL
BAMBANG RIYANTO, M.Pd.
Persamaan Diophantine ax + by + cz = d
Kita akan memperluas Persamaan Diophantine linear untuk
tiga variabel,
ax + by + cz = d.
Proses mencari solusi dari persamaan ini diharapkan juga merupakan perluasan
dari Persamaan Diophantine linear
sebelumnya. Untuk itu kita akan menentukan suatu persyaratan agar Persamaan
Diophantine itu memiliki solusi.
Seperti halnya dalam
Persamaan Diophantine dua variabel, kita misalkan fpb(a, b, c)
= m. Dari sini kita memiliki m | a,
m | b dan m | c. Berdasarkan definisi pembagian,
terdapat bilangan bulat p,
q, dan r sehingga
a = mp, b =
mq,
dan c = mr
Dengan mensubstitusikan nilai a,
b, dan c ini pada Persamaan Diophantine, kita memperoleh
mpx + mqy + mrz =
d ⇔ m(px + qy + rz) = d
Agar persamaan Diophantine itu memiliki solusi, maka nila x,
y, dan z haruslah merupakan bilangan bulat. Dengan
demikan, persamaan terakhir di atas menunjukkan bahwa
m | d atau
fpb(a, b, c) | d
yang merupakan persyaratan agar Persamaan Diophantine ax + by + cz = d memiliki solusi.
Selanjutnya, untuk
menentukan solusi dari Persamaan Diophantine
ini kita perhatikan contoh di bawah ini
Contoh 1 Tentukan
solusi dari Persamaan Diophantine
15x + 12y + 30z = 24
Pembahasan
Kita akan menyatakan
Persamaan Diophantine ini menjadi persamaan
dalam dua variabel. Untuk itu kita misalkan
12y + 30z = 6w.
Persamaan Diophantine ini memiliki solusi untuk setiap bilangan bulat w, sebab fpb(12, 30) | 6w. Dengan demikian, Persamaan Diophantine semula akan
menjadi
15x + 6w = 24.
Karena fpb(15, 6) = 3 dan 3 | 24, maka Persamaan Diophantine ini
memiliki solusi. Mudah ditentukan bahwa x0 = 2 dan w0
= –1 merupakan salah satu solusi dari persamaan itu. Dengan demikian, solusi secara umum dari Persamaan Diophantine 15x + 6w
= 24 adalah
x = 2 + (6/3)t
= 2 + 2t dan
w = –1 – (15/3)t = –1 – 5t.
Kemudian,
substitusikan nilai w ini ke persamaan 12y
+ 30z = 6w, diperoleh
12y + 30z = 6(–1 – 5t).
Dengan
menerapkan Algoritma Euclid, kita memperoleh bahwa
6 = fpb(12, 30) = 12(–2) + 30(1).
Kalikan kedua ruas kesamaan itu
dengan (–1 – 5t), dan diperoleh
12(2 + 10t) + 30(–1
– 5t) = –6 – 30t.
Oleh karena
itu, solusi partikulir dari persamaan 12y + 30z = –6 – 30t adalah
y0 = 2 + 10t
dan z0
= –1 – 5t,
dan solusi umum Persamaan Diophantine itu adalah
y = 2 + 10t + 5s dan
z = –1 – 5t –
2s.
Dengan demikian, solusi dari Persamaan Diophantine 15x + 12y + 30z = 24 adalah
x = 2 + 2t, y = 2 + 10t + 5s dan z = –1 – 5t –
2s
Penylesaian Persamaan Diophantine
Persamaan Diophantine
dan Diophantus
Bambang Riyanto, M.Pd.
Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seseorang
yang bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Diophantus,
juga dikenal dengan julukan“bapak dari aljabar”, merupakan seorang
matematikawan yunani yang bermukim di Iskandaria, pada waktu itu Alexandria
adalah pusat pembelajaran Matematika.Diophantus hidup sekitar abad ke-3.
Sebenarnya masih terdapat banyak perdebatan mengenai
pada tahun berapa dia hidup. Hal tersebut dikarenakan bencana yang melanda
Barat dengan kejatuhan Roma, jugapada pembakaran Perpustakaan di Alexandria di
640 masehi mengakibatkan hampir semua rincian tentang kehidupan Diophantus ikut
hilang karenanya. Tetapi, dapat dipastikan bahwa dia hidup antaratahun 150 dan
350masehi, karena ia menyebut Hypsicles (dikenalpada sekitar tahun150) dan
disebutkan oleh Theon dari Alexandria (sekitar 350). Satu lain secarik bukti,
Surat Michael Psellus (abad ke-11), menunjukkan 250 masehi adalah waktu paling
mungkin kapan Diophantus hidup. Selain itu menurut Cohen dan Drabkin(dalam
Stillwell, 2010:50), terdapat petunjuk tentang masa kehidupan Diophantus dalam
sebuah teka-teki dalam anthology bahasa Yunani (sekitar 600c) yang berbunyi
God granted
him to be a boy for the sixth part of his life, and adding a twelfth part to
this, He clothed his cheeks with down. He lit him the light of wedlock after a
seventh part, and five years after his marriage He granted him a son. Alas!
lateborn wretched child; after attaining the measure of half his father’s life,
chill Fate took him. After consoling his grief by this science of numbers for
four years he ended his life.
“Seperenam kehidupan yang diberikan Tuhan kepadaku
adalah masa muda. Setelah itu, seperduabelasnya, cambang dan berewokku mulai
tumbuh. Ditambah masa hidupku untuk menikah, dan tahun kelima mempunyai anak.
Sialnya, setengah waktu kehidupanku untuk mengurus anak. Empat tahun kugunakan
bersedih. Berapa umur Diophantus?”
Berikut adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.
Misal umur Diophantus adalah x, sehingga diperoleh x=1/6 x+1/12 x+ 1/7
x+5+1/2 x+4 . Dari pemecahan peroblem ini diketahui umur Diophantus
adalah 84 tahun, sedang dia menikah pada umur 26 tahun, dan usia anaknya
setengah dari usianya yaitu 42 tahun
Semasa hidup Diophantus terkenal karena karyanya yang
berjudul Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan
analitis teori bilangan yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan
dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai DiophantineEquation
(Persamaan Diophantine).
Persamaan deophantine merupakan suatu persamaan yang
mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine
tidak harus berbentuk persamaan linier, bisa saja kuadrat, kubik, atau lainnya
selama mempunyai solusi bilangan bulat.
Bentuk
paling sederhananya diberikan oleh
ax + by = c… (1)
dimana a, b dan c koefisien dan konstanta bulat yang
diberikan. Penyelesaian persamaan Diophantine (1) adalah semua
pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan ini. jika d adalah FPB
dari a dan b, maka agar persamaan (1) mempunyai solusi maka d harus dapat
membagi c (mengapa? alasannya dapat diketahui pada algoritma euclid tentang
FPB)
Metode untuk menyelesaikan persamaan Diophantine
terdapat banyak sekali metode untuk menyelesaikan
persamaan Diophantine, disini saya akan menjelaskan dua metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantine, yaitu dengan algoritma
Euclid dan cara reduksi. (saya hanya akan menjelaskan dengan cara Euclid saja)
Menyelesaikan persamaan DiophantineDengan Algoritma
Euclid
Contoh:
Tentukan selesaian persamaan Diophantine 172x + 20y = 1000
untuk
menyelesaikan persamaan diophantine di atas, pertama kita harus memastikan
bahwa 1000 dapat dibagi oleh (172,20) (baca: FPB 172 dan 20)
jadi kita
cari dahulu FPB 172 dan 20
Dengan
menggunakan Algoritma Euclid diperoleh (172,20) diperoleh
172 = (8) 20
+ 12
20
= (1) 12 + 8
12
= (1) 8 + 4
8
= (2) 4
Sehingga
(172,20) = 4.
Karena 4
│1000 maka 172x + 20y = 1000 mempunyai selesaian.
Dengan
menggunakan jalan mundur pada langkah di atas diperoleh
4 = 12 – (1)
8
= 12 – (1)
[20 – (1) 12]
= (2) 12 –
(1) 20
= 2 [172 –
(8)20] – 20
= (2) 172 +
(-17) 20 atau
4 = (2) 172
+ (-17) 20.
Kalikan
kedua ruas dengan 250 diperoleh
1000 = 250.4
= 250 {(2) 172 + (-17) 20}
= 500.172 +
(-4250) 20
atau
500.172 +
(-4250) 20=1000
maka didapat
x = 500 dan y = -4250.
apakah
selesaian hanya (500, -4250) saja? tidak, masih banyak selesaian yang lain dari
persamaan tersebut.
Jika (xo,yo)
adalah penyelesaian suatu persamaan Diophantine, maka penyelesaian lain
diberikan oleh x = xo + (b/d)t dan y = yo – (a/d)t,
untuk sebarang bilangan bulat t.
bukti:
dari
persamaan Diophantine ax+by=c, Misal d adalah FPB dari a dan b, xo
dan yo adalah selesaian persamaan yang diketahui. Jika x’ dan y’
selesaian yang lain maka
axo
+ byo = c = ax’ + by’
a(x’ – xo) =
b(yo – y’)
Dengan menggunakan teorema pada Algoritma Pembagian,
ada bilangan bulat relatif prima r dan s sehingga a = dr dan b = ds. Sehingga
diperoleh r(x’-xo) = s(yo-y’). Bentuk ini memberikan
fakta bahwa r │ s(yo-y’). Dengan (r,s) = 1. dengan menggunakan Lemma
Euclid diperoleh r │ (yo-y’) atau dengan kata lain (yo-y’)
= rt, untuk suatu bilangan bulat t.
x’-xo
= st.
x’ = xo
+ st
x’ = xo
+ (b/d)t …………………(1)
Dengan cara
yang sama diperoleh
yo
– y’ = rt.
y’ = yo
- rt
y’ = yo
– (a/d)t ………………… (2)
dari (1) dan
(2) dapat dilihat bahwa:
maka
penyelesaian lain dari ax+by=c, adalah x = xo +
(b/d)t dan y = yo – (a/d)t, untuk sebarang bilangan bulat
t.
Dengan
demikian terdapat tak hingga selesaian dari persamaan Diophantine yang
diberikan.
jadi Semua
selesaian dari persamaan 172x + 20y = 1000 adalah
x = 500 +
(20/4)t = 500 + 5t
y = -4250 – (172/4)t = -4250 – 43t, untuk suatu
bilangan bulat t.Silahkan Download
Persamaan Diophantine.pdf
Selasa, 06 Agustus 2013
SOAL KOMPETISI MATEMATIKA BRILIANT 2013 SMA PENABUR JAKARTA
Ini adalah Soal Kompetisi Nasional Briliant Matematika SMA Penabur Jakarta 2013
Silahkan didownload.
Soal Kompetisi Briliant Matematika 2013 SMA Penabur Jakarta 2013.pdf
Silahkan didownload.
Soal Kompetisi Briliant Matematika 2013 SMA Penabur Jakarta 2013.pdf
SOAL OSN GURU MATEMATIKA TINGKAT KABUPATEN OGAN KOMERING ILIR 2013
Ini adalah Soal OSN Guru Matematika Tingkat Kabupaten Ogan Komering Ilir Tahun 2013
Pembuat Soal Adalah Bambang Riyanto, M.Pd
Silahkan didownload
Soal OSN Guru Matematika SMA 2013.pdf
Soal OSN Guru Matematika SMP 2013.pdf
Pembuat Soal Adalah Bambang Riyanto, M.Pd
Silahkan didownload
Soal OSN Guru Matematika SMA 2013.pdf
Soal OSN Guru Matematika SMP 2013.pdf
Langganan:
Postingan (Atom)